বহুপদ ৰাশি

Exercise 2.2

1. তলৰ দ্বিঘাত বহুপদবোৰৰ শূণ্য উলিওৱা আৰু এই সুনীবোৰ আৰু সহগবোৰৰ মাজত সম্পৰ্ক সত্যাপন কৰা।

সমাধানসমূহ:

(i) x2–2x –8

⇒x2– 4x+2x–8

= x(x–4)+2(x–4)

= (x-4)(x+2)

সেয়েহে, বহুপদ সমীকৰণৰ শূন্যবোৰ হৈছে (4, -2)

শূন্যৰ যোগফল= 4–2 = 2 =-(-2)/1 (x ৰ সহগ/x² ৰ সহগ)

শূণ্যৰ পুৰণফল = 4×(-2) = -8 =-(8)/1 ধ্ৰুৱক/x² ৰ সহগ

(ii) 4s2–4s+1

⇒4s2–2s–2s+1

= 2s(2s–1)–1(2s-1)

= (2s–1)(2s–1)

সেয়েহে, বহুপদ সমীকৰণৰ শূন্যবোৰ হৈছে (1/2, 1/2)

শূন্যৰ যোগফল= (½)+(1/2) = 1 = -4/4 = (x ৰ সহগ/x² ৰ সহগ)

শূণ্যৰ পুৰণফল= (1/2)×(1/2) = 1/4 = ধ্ৰুৱক/x² ৰ সহগ

(iii) 6x2–3–7x

⇒6x2–7x–3 = 6x2 – 9x + 2x – 3

= 3x(2x – 3) +1(2x – 3)

= (3x+1)(2x-3)

সেয়েহে, বহুপদ সমীকৰণৰ শূন্যবোৰ হৈছে (-1/3, 3/2)

শূন্যৰ যোগফল= -(1/3)+(3/2) = (7/6) = (x ৰ সহগ/x² ৰ সহগ)

শূণ্যৰ পুৰণফল = -(1/3)×(3/2) = -(3/6) = ধ্ৰুৱক/x² ৰ সহগ

(iv) 4u2+8u

⇒ 4u(u+2)

বহুপদ সমীকৰণৰ শূন্যবোৰ হৈছে (0, -2).

শূন্যৰ যোগফল = 0+(-2) = -2 = -(8/4) = (x ৰ সহগ/x² ৰ সহগ)

শূণ্যৰ পুৰণফল = 0×-2 = 0 = 0/4 = ধ্ৰুৱক/x² ৰ সহগ

(v) t2–15

⇒ t2 = 15 or t = ±√15

বহুপদ সমীকৰণৰ শূন্যবোৰ হৈছে (√15, -√15)

শূন্যৰ যোগফল =√15+(-√15) = 0= -(0/1)= (x ৰ সহগ/x² ৰ সহগ)

শূণ্যৰ পুৰণফল = √15×(-√15) = -15 = -15/1 = ধ্ৰুৱক/x² ৰ সহগ

(vi) 3x2–x–4

⇒ 3x2–4x+3x–4

= x(3x-4)+1(3x-4)

= (3x – 4)(x + 1)

বহুপদ সমীকৰণৰ শূন্যবোৰ হৈছে (4/3, -1)

শূন্যৰ যোগফল = (4/3)+(-1) = (1/3)= -(-1/3) = (x ৰ সহগ/x² ৰ সহগ)

শূণ্যৰ পুৰণফল=(4/3)×(-1) = (-4/3) = ধ্ৰুৱক/x² ৰ সহগ

2. তলৰ যোৰকেইটা সংখ্যা দুটাক ক্ৰমে শূন্যবোৰৰ সমষ্টি আৰু গুণফল হিচাপে ধৰি প্ৰত্যেকৰ ক্ষেত্ৰত একোটা দ্বিঘাত বহুপদ নিৰ্ণয় কৰা।

(i) 1/4 , -1

সমাধান:

আমি জানো,

শূন্যৰ সমষ্টি = α+β = 1/4

শূন্যৰ গুণফল = α β = -1

∴ যদি α আৰু β যিকোনো দ্বিঘাত বহুপদৰ শূন্য হয়, তেন্তে দ্বিঘাত বহুপদ সমীকৰণটো পোনপটীয়াকৈ এনেদৰে লিখিব পাৰি:-

x2–(α+β)x +αβ = 0

x2–(1/4)x +(-1) = 0

4x2–x-4 = 0

দ্বিঘাত বহুপদ সমীকৰণটো 4x2–x-4 = 0

(ii)√2, 1/3

আমি জানো,

শূন্যৰ সমষ্টি = α + β =√2

শূন্যৰ গুণফল = α β = 1/3

∴ যদি α আৰু β যিকোনো দ্বিঘাত বহুপদৰ শূন্য হয়, তেন্তে দ্বিঘাত বহুপদ সমীকৰণটো পোনপটীয়াকৈ এনেদৰে লিখিব পাৰি:-

x2–(α+β)x +αβ = 0

x2 –(√2)x + (1/3) = 0

3x2-3√2x+1 = 0

দ্বিঘাত বহুপদ সমীকৰণটো 3x2-3√2x+1 = 0

iii) 0, √5

আমি জানো,

শূন্যৰ সমষ্টি = α+β = 0

শূন্যৰ গুণফল = α β = √5

∴ যদি α আৰু β যিকোনো দ্বিঘাত বহুপদৰ শূন্য হয়, তেন্তে দ্বিঘাত বহুপদ সমীকৰণটো পোনপটীয়াকৈ এনেদৰে লিখিব পাৰি:-

x²–(α+β)x +αβ = 0

x²–(0)x +√5= 0

দ্বিঘাত বহুপদ সমীকৰণটো x²–(0)x +√5= 0

(iv) 1, 1

আমি জানো,

শূন্যৰ সমষ্টি = α+β = 1

শূন্যৰ গুণফল = α β = 1

∴ যদি α আৰু β যিকোনো দ্বিঘাত বহুপদৰ শূন্য হয়, তেন্তে দ্বিঘাত বহুপদ সমীকৰণটো পোনপটীয়াকৈ এনেদৰে লিখিব পাৰি:-

x2–(α+β)x +αβ = 0

x2–x+1 = 0

দ্বিঘাত বহুপদ সমীকৰণটো x2–x+1 = 0

(v) -1/4, 1/4

আমি জানো,

শূন্যৰ সমষ্টি = α+β = -1/4

শূন্যৰ গুণফল = α β = 1/4

∴ যদি α আৰু β যিকোনো দ্বিঘাত বহুপদৰ শূন্য হয়, তেন্তে দ্বিঘাত বহুপদ সমীকৰণটো পোনপটীয়াকৈ এনেদৰে লিখিব পাৰি:-

x2–(α+β)x +αβ = 0

x2–(-1/4)x +(1/4) = 0

4x2+x+1 = 0

দ্বিঘাত বহুপদ সমীকৰণটো 4x2+x+1 = 0

vi) 4, 1

আমি জানো,

শূন্যৰ সমষ্টি = α+β = 4

শূন্যৰ গুণফল = αβ = 1

∴ যদি α আৰু β যিকোনো দ্বিঘাত বহুপদৰ শূন্য হয়, তেন্তে দ্বিঘাত বহুপদ সমীকৰণটো পোনপটীয়াকৈ এনেদৰে লিখিব পাৰি:-

x2–(α+β)x+αβ = 0

x2–4x+1 = 0

দ্বিঘাত বহুপদ সমীকৰণটো x2–4x+1 = 0