অনুশীলনীঃ 1.2
1. যদি A = {1, 3, 5} আৰু B= {2, 4, -1} তেন্তে find A×B and B×A উলিওৱা। A×B আৰু B×A ত কিমান মৌল আছে নিৰ্ণয় কৰা.
সমাধান: দিয়া আছে, A = {1, 3, 5} আৰু B= {2, 4, -1}
A×B = {(1, 2), (1, 4), (1, -1), (3, 2), (3, 4), (3, -1), (5, 2), (5, 4), (5, -1)}
B×A= {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4,3), (4, 5), (-1, 1), (-1, 3), (-1, 5)}
এতেকে, n(A×B) = 9 আৰু n(B×A)= 9
2. (a) যদি A = {-1, 3, 6} আৰু B= {-3, 5} তেন্তে A×B and B×A উলিওৱা। এই কাৰ্টেজীয় গুণফল দুটাৰ লেখ অংকন কৰা।
সমাধানঃ (a)দিয়া আছে, A = {-1, 3, 6} আৰু B= {-3, 5}
এতিয়া, A×B= {(-1, -3), (-1, 5), (3, -3), (3, 5), (6, -3), (6, 5)}
আৰু B×A= {(-3, -1), (-3, 3), (-3, 6), (5, -1), (5, -3) (5, 6)}
(b) যদি A= {2, 4}, B= {-1, 3, 7}, C={1, 0} তেনেহ’লে বৃক্ষ চিত্ৰৰ সহায়ত A×B, B×A আৰু A×B×C নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান: দিয়া আছে A= {2, 4}, B= {-1, 3, 7}, C= {1, 0}
A×B= {(2, 1), (2, 3), (2, 7), (4, -1), (4, 3), (4, 7)}
B×A = {(-1, 2), (-1, 4), (3, 2), (3, 4), (7, 2), (7, 4)}
A×B×C = {(2, -1, 1), (2, -1, 0), (2, 3, 1), (2, 3, 0), (2, 7, 1), (2, 7, 0), (4, -1, 1), (4, -1, 0), (4, 3, 1), (4, 3, 0), (4, 7, 1), (4, 7, 0)}
3. যদি A= {x, y, u, v} আৰু B= {a, b, l, m} তেন্তে A×B উলিওৱা আৰু এই কাৰ্টেজীয় গুণফলক এটা স্থানাংক চিত্ৰৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা।
সমাধান: দিয়া আছে, A= {x, y, u, v} আৰু B= {a, b, l, m}
A×B= {(x, a), (x, b), (x, l), (x, m), (y, a), (y, b), (y, l), (y, m), (u, a), (u, b), (u, l), (u, m), (v, a), (v, b), (v, l), (v, m)}
4. যদি A= {3, 5}, B= {1, 2, 4}, C= {3, 4, 6} তেন্তে দেখুওৱা যে,
(i) A×(BUC) = (A×B) U (A×C)
(ii) A×(BꓵC) = (A×B) ꓵ (A×C)
সমাধান: দিয়া আছে, A= {3, 5}, B= {1, 2, 4}, C= {3, 4, 6}
এতিয়া, BUC= {1, 2, 3, 4, 6}
BꓵC = {4}
A×B = {(3, 1), (3, 2), (3, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 4)}
(A×C)= {(3, 3), (3, 4), (3, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}
(i) বাওঁপক্ষ= A×(BUC)
= {3, 5} × {1, 2, 3, 4, 6}
= {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 6), (5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5,6)}
সোপক্ষ= (A×B) U (A×C)
= {(3, 1), (3, 2), (3, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 4)} U {(3, 3), (3, 4), (3, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}
= {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 6), (5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5,6)}
এতেকে, বাওঁপক্ষ = সোপক্ষ
(ii) বাওঁপক্ষ= A×(BꓵC)
= {3, 5} × {4}
= {(3, 4), (5, 4)}
সোপক্ষ= (A×B) ꓵ (A×C)
= {(3, 1), (3, 2), (3, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 4)} ꓵ {(3, 3), (3, 4), (3, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}
= {(3, 4), (5, 4)}
এতেকে, বাওঁপক্ষ = সোপক্ষ
দেখুওৱা হ’ল
5. A= {x:x Є I আৰু -2 < x < 4} আৰু B= {y:y Є I হ’ল y2 – 9=0 ৰ মূল} সংহতি দুটাৰ বাবে A×B ৰ লেখ অংকন কৰা আৰু n(A×B) উলিওৱা।
সমাধান: দিয়া আছে, A= {x: x Є I আৰু -2 < x < 4}
= {-1, 0, 1, 2, 3}
B= {y:y Є I হ’ল y2 – 9=0 ৰ মূল}
= {-3, 3}
A×B= {(-1, -3), (-1, 3), (0, -3), (0, 3), (1, -3), (1, 3), (2, -3), (2, 3), (3, -3), (3, 3)}
n (A×B)= 10
6. যদি A={-3, 0, 3} আৰু B= {-1, 1} তেন্তে দুখন বেলেগ বেলেগ স্থানাংক তলত A×B আৰু B×A ৰ লেখ অংকন কৰা।
সমাধান: দিয়া আছে, A={-3, 0, 3} আৰু B= {-1, 1}
A×B= {(-3, -1), (-3, 1), (0, -1), (0, 1), (3, -1), (3, 1)}
B×A={(-1,-3), (-1, 0), (-1, 3), (1, -3), (1, 0), (1, 3)}
7. (i) যদি A=ф আৰু B={-1, 1} তেন্তে A×B, B×A আৰু B2 ৰ ঘাত সংহতি নিৰ্ণয় কৰা।
(ii ) যদি A= {0} আৰু B= {1} তেন্তে A×B and B×A নিৰ্ণয় কৰা। লগতে P(A×B) আৰু P(B×A) উলিওৱা।
সমাধান: (i) দিয়া আছে, A=ф আৰু B={-1, 1}
এতেকে, A×B= ф
B×A= ф
এতেকে, P(A×B) ={ ф}
P(B×A)= { ф}
আকৌ, B2 = B × B
= {-1, 1} × {-1, 1}
= {(-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)}
এতেকে,
P( B2)= { ф, {(-1, -1)},{ (-1, 1)}, {(1, -1)}, {(1, 1)}, {(-1, -1), (-1, 1)}, {(-1, -1),(1, -1)}, {(-1, -1), (1, 1)}, {(-1, 1), (1, -1)}, {(-1, 1), (1, 1)}, {(1, -1), (1, 1)}, {(-1, -1), (-1, 1), (1, -1)}, {(-1, -1), (-1, 1), (1, 1)}, {(-1, -1), (1, -1), (1, 1)}, {(-1, 1), (1, -1), (1, 1)}, {(-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)}}
(ii ) দিয়া আছে, A= {0} আৰু B= {1}
এতেকে, A×B = {(0, 1)}
B×A = {(1, 0)}
P (A×B) = {ф, {(0, 1)}}
P (B×A) = {ф, {(1, 0)}}
8. যদি A= {2, 4} আৰু B = {4, 2}, তেনেহ’লে আমি A×B = A2 আৰু B×A= B2 বুলি লিখিব পাৰিমনে?
সমাধান: দিয়া আছে, A= {2, 4} আৰু B = {4, 2}
এতিয়া, A×B = {2, 4} × {4, 2}
= {(2, 4), (2, 2), (4, 4), (4, 2)}
A2 = {2, 4} × {2, 4}
= {(2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)}
আৰু, B×A = {4, 2} × {2, 4}
= {(4, 2), (4, 4), (2, 2), (2, 4)}
B2 = {4, 2} × {4, 2}B
= {(4, 4), (4, 2), (2, 4), (2, 2)}
এতেকে, A×B = A2 আৰু B×A= B2
9. যদি n(A) = 3 আৰু A × A ত থকা দুটা মৌল (a, a) আৰু (b, c) তেন্তে A আৰু A × A সংহতি দুটা নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান: দিয়া আছে, n (A) = 3
A = {a, b, c}
এতিয়া, A × A = {a, b, c} ×{a, b, c}
= {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}
10. যদি A ⊆ B আৰু C ⊆ D হয়, তেন্তে দেখুওৱা যে A×C ⊆ B×D
সমাধান: ধৰাহ’ল (a, b) be one element of A×C
( a, b) Є A×C
ð a Є A and b Є C
ð a Є B and b Є D (since, A ⊆ B and C ⊆ D)
ð (a, b) Є B×D
এতেকে, A ×C ⊆ B × D
11. যদি A×B= {(m, 1), (n, 3), (m, 3), (n, 1), (m, 2), (n, 2)}, তেন্তে A আৰু B সংহতি দুটা উলিওৱা।
সমাধান: দিয়া আছে,
A×B= {(m, 1), (n, 3), (m, 3), (n, 1), (m, 2), (n, 2)}
= {(m, 1), (m, 2), (m, 3), (n, 1), (n, 2), (n, 3)}
তেন্তে, A= {m, n}, B= {1, 2, 3}
12. যদি A আৰু B দুটা অৰিক্ত সংহতি আৰু আৰু A × B= A × C তেন্তে দেখুওৱা যে B=C.
সমাধান: ধৰাহ’ল y, B ৰ যিকোনো এটা মৌল
এতেকে, y Є B
বা, (x,y) Є A×B (ꓯ x Є A)
বা, (x,y) Є A×C ( A×B = A×C)
বা, y Є C
বা, B ⊂ C ………………………….(1)
আকৌ, ধৰাহ’ল x, C ৰ যিকোনো এটা মৌল
এতেকে, x Є C
বা, (y, x) Є A×C (ꓯ y Є A)
বা, (y, x) Є A ×B (A×C= A ×B)
বা, x Є B
বা, C ⊂ B ……………………………(2)
এতিয়া, (1) আৰু (2) ৰ পৰা আমি পাওঁ-
B = C
13. A= {1, 2}, B= {1, 3, 2} আৰু C= {4, 2, 1} তেন্তে দেখুওৱা যে A2 = B2ꓵC2
সমাধান: দিয়া আছে, A= {1, 2}, B= {1, 3, 2} আৰু C= {4, 2, 1}
A2 = A×A
= {1, 2} × {1, 2}
= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
B2= B×B
= {1, 3, 2} × {1, 3, 2}
= {(1, 1), (1, 3), (1, 2), (3, 1), (3, 3), (3,2}, (2, 1), (2, 3), (2, 2)}
C2 = {4, 2, 1} × {4, 2, 1}
= {(4, 4), (4, 2),(4, 1), (2, 4), (2, 2), (2,1), (1, 4), (1, 2), (1, 1)}
B2ꓵC2= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
এতেকে, A2 = B2ꓵC2 (দেখুওৱা হ’ল)
14. যদি A={0, 1}, তেন্তে A×A×A উলিওৱা।
সমাধান: দিয়া আছে, A= {0, 1}
এতিয়া, A × A × A= {0, 1} × {0, 1} × {0, 1}
= {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
No comments:
Post a Comment