সংহতি |উচ্চ গণিত| দশম শ্ৰেণী

 পাঠ: সংহতি

অনুশীলনীঃ 1.1

 

1.    সংহতি A= { x : x Є N আৰু x < 10} আৰু ф ৰ বাবে তলত দিয়াবিলাক নিৰ্ণয় কৰা –

(a)   n(A)  আৰু n(ф)              

 (b) n(Aꓴф) আৰু n(A ꓵ ф)

সমাধান:

দিয়া আছে, A=    { x : x Є N and x < 10}

(a)   n(A)=10       আৰু    n(ф)=0

 (b)  n(Aꓴф)= n(A) + n(ф)

 =10 + 0

 = 10

আৰু    n(A ꓵ ф)= n(A) + n(B) – n(A ꓴ ф)

                = 10 + 0 – 10

                = 0

 2.    ধৰাহ’ল A আৰু B দুটা সংহতি আৰু U সিহতৰ সাৰ্বিক সংহতি। যদি n(U)= 120, n(A)= 42, n(B)= 50 আৰু n(AꓵB)= 21, তেন্তে তলত দিয়া কেইটা নিৰ্ণয় কৰা-

 

(i)            n (AUB), n(A – B), n(B – A) আৰু n(AˊꓵBˊ)

(ii)          n(Bˊ), n(Aˊ),  n(AꓴB)ˊ

(iii)         n(PUQ) আৰু n(PꓵQ), যদি P= A – B আৰু Q= AꓵB

(iv)         U – (AUB) সংহতিটোত কিমান মৌল আছে?

সমাধান:

দিয়া আছে, n(U)=120,  n(A)= 42,  n(B)= 50,  n(AꓵB)= 21

i)             আমি জানো যে

n (AUB)= n(A)+n(B) – n(AꓵB)

        =42+50 – 21

        =71

        আকৌ, n (A  ̶  B)= n(A) ̶  n(AꓵB)

                        = 42 – 21

                        = 21

                n (B ̶  A)= n(B) ̶   n(AꓵB)

                        = 50 – 21

                        = 29

আৰু            n(AˊꓵBˊ)= n(AꓴB)ˊ

                                   = n(U) – n(AUB)

                                   = 120 – 71

                                   = 49

(ii)          n(Bˊ)= n(U) – n(B)

                        = 120 – 50

                        = 70

                    n (Aˊ)= n(U) – n(A)

                        = 120 – 42

                        = 78

আৰু    n(AUB)ˊ= n(U) – n(AUB)

                                = 120 – 71

                                = 49

(iii)          n(PUQ)= n [(A  ̶  B) U (AꓵB)]

                        = n[(AꓵBˊ) U (AꓵB)]

                        = n[Aꓵ(BˊUB)]        (বিতৰত বিধি)

                        = n [AꓵU]

                        = n(A)

                        = 42

আৰু    n(PꓵQ)= n [(A  ̶  B) ꓵ (AꓵB)]

                        = n[(AꓵBˊ) ꓵ (AꓵB)]

                        = n[ A ꓵ (BꓵBˊ)]

                        = n [A ꓵ ф]

                        = n(ф)

                        = 0

(iv)    n[U – (AUB)] = n(U) – n(AUB)

                                = 120 – 71

                                = 49

 

 

3. যদি n(AꓵB)= 36, n(A – B)= 25, n(B – A)= 20, তেন্তে n(AUB), n(A) আৰু  n(B) উলিওৱা।

সমাধান:

আমি জানো যে,

                        n(AUB)=  n(A – B) + n(B – A) + n(AꓵB)

                                = 25 + 20 + 36

                                = 81

                        n(A)= n(A – B) + n(AꓵB)

                                = 25 + 36

                                = 61

                        n(B)= n(B – A) + n(AꓵB)

                                = 20 + 36

                                 = 56

5. এটা শ্ৰেণীত পতা গণিত আৰু ইংৰাজী পৰীক্ষাৰ পৰা দেখা গ’ল যে 55 জন শিক্ষাৰ্থীয়ে গণিতত, 46 জন শিক্ষাৰ্থীয়ে ইংৰাজীত আৰু 35 জন শিক্ষাৰ্থীয়ে গণিত আৰু ইংৰাজী উভয়তে উত্তীৰ্ণ হৈছে। যদি পৰীক্ষাত অৱতীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা 100 তেন্তে তলত দিয়া কেইটা নিৰ্ণয় কৰা-

                     (i) দুয়োটা বিষয়তে অনুত্তীৰ্ণ শিক্ষাৰ্থীৰ শতকৰা হাৰ

                     (ii) একমাত্ৰ গণিতত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ শতকৰা হাৰ

                     (iii) একমাত্ৰ ইংৰাজীত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ শতকৰা হাৰ

সমাধান:

ধৰাহ’ল, গণিতত উত্তীৰ্ণ শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি M

    ইংৰাজীৰ উত্তীৰ্ণ শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি E

                     দিয়া আছে, n(U)=100,  n(M)= 55, n(E)= 46 আৰু  n(MꓵE)= 35

                     আমি জানো যে,

                                   n(MUE)= n(M) + n(E) – n(MꓵE)

                                = 55 + 46 – 35

                                = 66

(i)            দুয়োটা বিষয়তে অনুত্তীৰ্ণ শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা= n(MꓵE)ˊ

                                                      = n(U) - n(MUE)

                                                  = 100 – 66

                                                  = 34

                 এতেকে অনুত্তীৰ্ণ শিক্ষাৰ্থীৰ শতকৰা হাৰ= 34%

(ii)          একমাত্ৰ গণিতত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা = n(M – E)

                                                       = n(M) - n(MꓵE)

                                                       = 55 – 35

                                                       = 20

          এতেকে,একমাত্ৰ গণিতত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ হাৰ 20%

(iii)         একমাত্ৰ ইংৰাজীত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা = n(E – M)

                                                             = n(E) - n(MꓵE)

                                                              = 46 – 35

                                                              = 11

                     এতেকে, একমাত্ৰ ইংৰাজীত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ হাৰ = 11%

6.  এখন স্কুলৰ 550 গৰাকী শিক্ষাৰ্থীৰ মাজত কৰা এটা জৰীপৰ পৰা পোৱা গ’ল যে 175 গৰাকীয়ে গাখীৰ, 300 গৰাকীয়ে চাহ আৰু 110 গৰাকীয়ে গাখীৰ আৰু চাহ দুয়োটাই খায়। গাখীৰ আৰু চাহৰ কোনো এটাও নোখোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান: ধৰাহ’ল গাখীৰ খোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি M

             চাহ খোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি T

                     দিয়া আছে,  n(M)= 175, n(T)= 300 আৰু n(MꓵT)= 110

                     আমি জানো যে,

                        n(MUT)= n(M) + n(T) - n(MꓵT)

                                = 175 + 300 – 110

                                = 365

                     এতেকে,গাখীৰ আৰু চাহৰ কোনো এটাও নোখোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা= 550 – 365

                                                                                    = 185

7. অসমত থকা কেন্দ্ৰীয় চৰকাৰৰ অধীনস্থ কাৰ্যালয় এটাৰ চাকৰিয়ালৰ মাজত কৰা এটা জৰীপৰ পৰা পোৱা গ’ল যে তেওঁলোকৰ 80 জনে অসমীয়া, 70 জনে ইংৰাজী আৰু 50 জনে অসমীয়া আৰু ইংৰাজী দুয়োটাই ক’ব পাৰে। জৰীপটোত অংশ লোৱা প্ৰতিজন চাকৰিয়ালেই যদি অসমীয়া অথবা ইংৰাজী অথবা এই দুয়োটা ভাষাই ক’ব পাৰে তেন্তে তলত দিয়া কেইটা নিৰ্ণয় কৰা-

(i) জৰীপটোত অংশ লোৱা মুঠ চাকৰিয়ালৰ সংখ্যা কিমান?

(ii) তেওঁলোকৰ কিমানজনে একমাত্ৰ অসমীয়াহে ক’ব পাৰে?

(iv)         তেওঁলোকৰ কিমানজনে একমাত্ৰ ইংৰাজীহে ক’ব পাৰে?

সমাধান:

ধৰাহ’ল, অসমীয়া ক’ব পৰা চাকৰিয়ালৰ সংহতি A আৰু ইংৰাজী ক’ব পৰা চাকৰিয়ালৰ সংহতি E

দিয়া আছে, n(A)= 80, n(E)= 70 আৰু n(AꓵE)= 50

(i)            আমি জানো যে, n(AUE)= n(A) + n(E) – n(AꓵE)

                                    = 80 + 70 – 50

                                    = 100

                 এতেকে, মুঠ চাকৰিয়াল= 100

(ii)          একমাত্ৰ অসমীয়াহে ক’ব পৰা চাকৰিয়ালৰ সংখ্যা = n(AUE) – n(E)

                                                          = 100 – 70

                                                                   = 30

(iii)         একমাত্ৰ ইংৰাজীহে ক’ব পৰা চাকৰিয়ালৰ সংখ্যা = n(AUE) – n(A)

                                                             = 100 – 80

                                                             = 20

8.  250 জন সদস্য থকা এটা ক্লাবৰ 130 জনে চাহ খায় আৰু 85 জনে কফি নাখায় কিন্তু চাহহে খায়। যদি সদস্যসকলৰ প্ৰতিজনেই চাহ আৰু কফিৰ ভিতৰত অতি কমেও কোনো এবিধ পানীয় সেৱন কৰে তেন্তে-

                     (i) কিমানজন সদস্যই কফি খায়?

                     (ii) কিমানজনে চাহ নেখায় কিন্তু কফিহে খায়?

               সমাধান:

                     ধৰাহ’ল চাহ খোৱা সদস্যৰ সংহতি T আৰু

                     কফি খোৱা সদস্যৰ সংহতি C

                     Given, n(T)= 130, n(TUC)= 250, n(T – C)= 85

(i)            কফি খোৱা সদস্যৰ সংখ্যা, n(C)= n(TUC) – n(T – C)

                                      = 250 – 85

                                      = 165

(ii)                  n(TꓵC)= n(T) + n(C) – n(TUC)

                            = 130 + 165 – 250

                            =45

               এতেকে,চাহ নোখোৱা কিন্তু কফিহে খোৱা সদস্যৰ সংখ্যা, n(C – T)= n(C) – n(TꓵC)

                                                                     = 165 – 45

                                                                             = 120

9. 90 জন ছাত্ৰ থকা এটা শ্ৰেণীৰ 60 জনে ভলীবল, 53 জনে বেডমিণ্টন আৰু 35 জনে এই দুয়োটা খেলেই খেলে। তলত দিয়া কেইটা নিৰ্ণয় কৰা-

(i)  কিমানজনে এই দুয়োটা খেলৰ কোনো এটা খেলো নেখেলে?

(ii) কিমানজনে মাত্ৰ বেডমিণ্টন খেলে, কিন্তু ভলীবল নেখেলে?

(iii)         কিমানজনে মাত্ৰ ভলীবল খেলে, কিন্তু বেডমিণ্টন নেখেলে?

(iv)         কিমানজনে এই দুয়োটাৰ অতি কমেও এটা খেল হ’লেও খেলে?

              সমাধান:

                      ধৰাহ’ল মুঠ ছাত্ৰৰ সংহতি U,  ভলীবল খেলা ছাত্ৰৰ সংহতি V আৰু

                     বেডমিণ্টন খেলা ছাত্ৰৰ সংহতি B

                     দিয়া আছে, n(U)= 90, n(V)= 60, n(B)= 53 আৰু n(VꓵB)= 35

                     এতেকে, n(VUB)= n(V) + n(B) - n(VꓵB)

                                        = 60 + 53 – 35

                                        = 78

(i)                 দুয়োটা খেলৰ কোনো এচা খেলো নেখেলা ছাত্ৰৰ সংখ্যা=n(U)-n(VUB)

                                                          = 90 – 78

                                                          = 12

(ii)               অকল বেডমিণ্টন খেলা কিন্তু ভলীবল নেখেলা ছাত্ৰৰ সংখ্যা,

                    n(B – V)= n(B) - n(VꓵB)

                            = 53 – 35

                            = 18

(iii)             অকল ভলীবল খেলা কিন্তু বেডমিণ্টন নেখেলা ছাত্ৰৰ সংখ্যা,

            n(V – B)= n(V) - n(VꓵB)

                    = 60 – 35

                    = 25

(iv)              দুয়োটাৰ অতি কমেও এটা খেলা হ’লেও খেলা ছাত্ৰৰ সংখ্যা,

                      n(VUB)= n(V) + n(B) - n(VꓵB)

                     = 60 + 53 – 35

                     = 78

10. এখন নগৰৰ 1500 পৰিয়ালৰ মাজত চলোৱা এটা পিয়লৰ পৰা জলা গৈছে যে তাৰে 1263 পৰিয়ালত টিভি, 639 পৰিয়ালত ৰেডিঅ’ আৰু 197 পৰিয়ালত টিভি আৰু ৰেডিঅ’ৰ কোনোটোৱেই নাই। সেই নগৰখনৰ

                     (i)কিমান পৰিয়ালত টিভি আৰু ৰেডিঅ’ দুয়োটাই আছে?

                     (ii)কিমান পৰিয়ালত মাত্ৰ টিভিহে আছে, কিন্তু ৰেডিঅ’ নাই?

                     ( iii) কিমান পৰিয়ালত মাত্ৰ ৰেডিঅ’হে আছে, কিন্তু টিভি নাই?

               সমাধান:

                  ধৰাহ’ল মুঠ পৰিয়ালৰ সংহতি U

                     টিভি থকা পৰিয়ালৰ সংহতি T

                     ৰেডিঅ’ থকা পৰিয়ালৰ সংহতি R

                     দিয়া আছে, n(U)= 1500, n(T)= 1263, n(R)=639 আৰু n(TˊꓵRˊ)= 197

                  এতিয়া,          n(TˊꓵRˊ)= n(U) – n(TUR)

 =>197 = 1500 - n(TUR)

=> n(TUR)= 1500 – 197

 =>n(TUR)= 1306

(i)            টিভি আৰু ৰেডিঅ’ দুয়োটাই থকা পৰিয়ালৰ সংখ্যা,

                 n(TꓵR) = n(T) + n(R) – n(TUR)

                            = 1263 + 639 – 1303

                            = 599

(ii)          এঅকল টিভি থকা কিন্তু ৰেডিঅ’ নথকা পৰিয়ালৰ সংখ্যা

                 n(T – R)= n(T) - n(TꓵR)

                            = 1263 – 599

                            = 664

(iii)         অকল ৰেডিঅ’ থকা কিন্তু টিভি নথকা পৰিয়ালৰ সংখ্যা,

         n(R – T)= n(R) - n(TꓵR)

                    = 639 – 599

                    = 40

 

11. এটা শ্ৰেণীৰ 180 গৰাকী শিক্ষাৰ্থীৰ ভিতৰত 76 গৰাকীয়ে গণিত, 81 গৰাকীয়ে পদাৰ্থবিজ্ঞান আৰু 80 গৰাকীয়ে ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ণ কৰে। তদুপৰি 34 গৰাকীয়ে গণিত আৰু পদাৰ্থবিজ্ঞান দুয়োটাই, 30 গৰাকীয়ে গণিত আৰু ৰসায়ন বিজ্ঞান দুয়োটাই, 33 গৰাকীয়ে পদাৰ্থবিজ্ঞান আৰু ৰসায়ন বিজ্ঞান দুয়োটাই অধ্যয়ণ কৰে। যদি 18 গৰাকীয়ে এই তিনিওটা বিষয়েই অধ্যয়ণ কৰে তেন্তে তলত দিয়া কেইটা নিৰ্ণয় কৰা-

                     (i) কিমান গৰাকী শিক্ষাৰ্থীয়ে একমাত্ৰ পদাৰ্থবিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে

                     (ii) কিমান গৰাকী শিক্ষাৰ্থীয়ে একমাত্ৰ ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে

                     (iii ) কিমান গৰাকী শিক্ষাৰ্থীয়ে একমাত্ৰ গণিত অধ্যয়ন কৰে

             (iv ) কিমান গৰাকী গণিত আৰু পদাৰ্থবিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে, কিন্তু ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন নকৰে

             ( v) কিমান গৰাকী পদাৰ্থবিজ্ঞান আৰু ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে, কিন্তু গণিত অধ্যয়ন নকৰে

             (vi ) কিমান গৰাকী ৰসায়ন বিজ্ঞান গণিত  অধ্যয়ন কৰে, কিন্তু পদাৰ্থবিজ্ঞান অধ্যয়ন নকৰে

                     (vii ) কিমানজন শিক্ষাৰ্থীয়ে এই তিনিটা বিষয়ৰ এটাও অধ্যয়ন নকৰে

            সমাধান:

                                                           

  শ্ৰেণীটোৰ সকলো শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি U 

গণিত অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি M

পদাৰ্থ বিজ্ঞানঅধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি  P

ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি C

দিয়া আছে, n(U)= 180, n(M)= 76, n(P)= 81, n(C)= 80,

n(MꓵP)= 34, n(MꓵC)= 30, n(PꓵC)= 33 আৰু n(MꓵPꓵC)= 18

 

(i)             একমাত্ৰ পদাৰ্থবিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা

             = n(P) – n(MꓵP)–n(PꓵC)+ n(MꓵPꓵC)   

    = 81 – 34 – 33 + 18   

    = 32                                                                                           

 

(ii)          একমাত্ৰ ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা

= n(C)–n(MꓵC)- n(PꓵC)+n(MꓵPꓵC)

 = 80 – 30 – 33 + 18

  = 35                                                                                               

(iii)         একমাত্ৰ ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা  

         = n(M)–n(MꓵP)– n(MꓵC)+n(MꓵPꓵC) 

          = 76 – 34 – 30 + 18                                                         

           = 30                                                     

 

(iv)         গণিত আৰু পদাৰ্থবিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰা, কিন্তু ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন নকৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা

                                            = n(MꓵP) -  n(MꓵPꓵC)

                                            = 34 – 18

                                            = 16

 

(v)          পদাৰ্থবিজ্ঞান আৰু ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰা, কিন্তু গণিত অধ্যয়ন নকৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা

                                            = n(PꓵC) - n(MꓵPꓵC)

                                            = 33 – 18

                                            = 15

 

(vi)         ৰসায়ন বিজ্ঞান আৰু গণিত অধ্যয়ন কৰা, কিন্তু পদাৰ্থবিজ্ঞান অধ্যয়ন নকৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা

                                            = n(CꓵM) - n(MꓵPꓵC)

                                            = 30 – 18

                                            = 12

 

(vii)        তিনিটা বিষয়ৰ এটাও অধ্যয়ন নকৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা

= n(U) – n(MUPUC)

= n(U) – [n(M) + n(P) + n(C) – n(MꓵP) – n(PꓵC) – n(MꓵC) + n(MꓵPꓵC)]

= 180 – [76 + 81 + 80 – 34 – 33 – 30 + 18]

= 180 – 158

= 22